Der Würfel und Wahrscheinlichkeiten

[gruehnaLing]

Hallo Zusammen. Hier mal eine Frage für die ganz ausgefuchsten unter den Rechengenies, die mich seit gestern beschaftigt. 

 

Wenn ich 5W6 werfe, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit:

- 2 oder mehr 6en

- 3 oder mehr 6en

zu würfeln? 

 

Am Ende habe ich die Suche nach einer für  meinen Intellekt verstandlichen Formel aufgegeben, in Excel alle möglichen Würfelwurfkombinationen aufgelistet, mit "wenn dann" - Formeln rausgefiltert welche Menge an Wurfergebnissen die entsprechende Menge an 6en hat und die Prozentzahl erhoben, die diese Menge von allen Wurfergebnissen ausmacht. 

 

Demnach stehen die Chancen  wie folgt:

- 2 oder mehr 6en = ~19.6%

- 3 oder mehr 6en = ~ 3.55%

 

Spaßeshalber hab ich dann mal ausgeben lassen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für eine oder mehr 6en bei 5 Würfeln wäre: ~59.56%

Das ist doch schlichtweg falsch. Die Chance mindestens eine 6 zu werfen sollte doch bei 5 Würfeln etwa 82-83% betragen? 

 

Daher meine Frage: wer kann die Frage korrekt beantworten? 

Ich anscheinend nicht... 

[Delln]

Ich komme auf 59,81% für mindestens eine 6 bei 5 Würfeln.

 

Wieso sollte die Wahrscheinlichkeit bei über 80% liegen?

 

Ich hatte mal gelernt:

 

1-(5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6)

 

Also 100% minus der nicht gewünschten Ergebnisse.

[gruehnaLing]

Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 bei einem Würfel  ist 16,666666666666%. 

In meiner Unwissenheit hab ich das einfach x5 genommen, da 5 Würfel = 83,333333333333% 

 

Kann aber totaler BS sein. Wahrscheinlich hab ich einfach keinen Plan von Wahrscheinlichkeit... 

[Delln]

Ist totaler Bullshit, da dann bei 6 Würfen ja 100% rauskäme.

[gruehnaLing]

Ja. Das würde ich auch so sehen. Aber wie gesagt:

" Wahrscheinlich hab ich einfach keinen Plan von Wahrscheinlichkeit... " 

 

Dann ist mein Excelsheet also doch richtig

 

bearbeitet 9. August 2017 von gruehnaLing

[Delln]

Kurze Google Suche ergab:

 

"Mindestens einmal ist 1 minus keinmal"  als Leitsatz.

 

Also das was ich oben schon schrieb.

 

Wie man jetzt auf mindestens zwei sechsen kommt müsste ich auch nochmal gucken...

[Schokoladenmann]

Den Sonderfall "mindestens eine 6" (p₁₊) als Gegenwahrscheinlichkeit von "keine einzige 6" (p₀) hat Delln schon richtig beschrieben. Für die anderen Fälle muss man das Ergebnis noch mit dem Binomialkoeffizienten "n über k" oder "k aus n" multiplizieren, um die Zahl der Kombinationen zu erhalten, die dem gesuchten Ergebnis entsprechen.

 

----------------------------------------

 

Beispiel: Für "genau 2 Sechsen bei 5W6" (p₂) könnte man folgendes schreiben:

 

1/6 * 1/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 = 1,61%

 

Das ist aber nur die Wahrscheinlichkeit, dass *genau der erste und zweite* Würfel die 6 zeigen (+), und alle anderen nicht (-):

 

+ + - - -

 

Es gibt aber noch andere Kombinationen, die zum gleichen Ergebnis führen:

 

+ - + - -

+ - - + -

usw.

 

Die Anzahl dieser Kombinationen liefert uns der Binomialkoeffizient "k aus n", in diesem Fall "2 aus 5".

 

Hier gilt: "k aus n" = n! / ( k! * (n-k)! )

 

Also im Beispiel: "2 aus 5" = 5! / (2! * (5-2)! )

 

= 5! / ( 2! * 3!)

 

= 120 / (2 * 6)

 

= 120 / 12

 

= 10

 

Also müssen wir die 1,61% von oben mit 10 multiplizieren, um die Wahrscheinlichkeit für eine beliebige Kombination zu erhalten, bei der mit 5W6 genau 2 6en fallen.

 

Wahrscheinlichkeit für genau 2 6en: p₂ = 16,1%

 

----------------------------------------

 

Analog für genau eine 6 (p₁):

 

"1 aus 5" * 1/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 =

 

8,04% * 5! / (1! * (5-1)! ) =

 

8,04% * 120 / (1 * 4! ) =

 

8,04% * 120 / 24 =

 

8,04% * 5 =

 

40,2%

 

----------------------------------------

 

Und für gar keine 6 (p₀):

 

"0 aus 5" * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 =

 

40,2% * 5! / (0! * (5-0)! ) =

 

40,2% * 5! / (1 * 5! ) =

 

40,2% * 120 / 120 =

 

40,2%

 

----------------------------------------

 

Die Wahrscheilichkeit für z.B. 3 oder mehr 6en (p₃₊) ist dann analog zu dem, was Delln geschrieben hat:

 

p₃₊ = 1 - (p₀ + p₁ + p₂) =

 

1 - (40,2% + 40,2% + 16,1%) =

 

1 - 96,5% =

 

3,5%

 

Rundungsfehler bitte ignorieren

[gruehnaLing]

Ihr seid so geil schlau! 

 

Danke 

 

Nur dass ich es auch richtig verstehe, 2 oder mehr sechsen ware dann einfach :

 

p₃₊ = 1 - (p₀ + p₁) =

 

1 - (40,2% + 40,2%) =

 

1 - 80,4% =

 

19,6%

 

Woll?

[Delln]

Woll!

[Schokoladenmann]

vor 59 Minuten schrieb gruehnaLing:

Ihr seid so geil schlau!

Danke. Das kommt von den Denkerhelmen. ;-)